Note

Udledning af Lorentz transformationen



Eksempel på to inertialsystemer.

Udledningen af Lorentz transformationen er faktisk relativt simpel, hvis man kender lidt til inertialsystemer. På skitsen til højre er to inertialsystemer vist, hvoraf S' bevæger sig med hastigheden v i forhold til S. Til udledningen af Lorentz transformationen benytter vi nedenstående antagelser.

  1. S og S' er ligeberettiget og lysets hastighed er den samme i begge inertialsystemer.
  2. Transformationen er en lineær afbildning.
  3. S og S' har parallelle koordinatakser og sammenfaldende x-akser.
  4. De to inertialsystemer har sammenfaldende begyndelsespunkter for t = t' = 0.
  5. S' bevæger sig med hastigheden v langs x-aksen for S og omvendt bevæger S sig med hastigheden -v langs x'-aksen for S'.
  6. Hvis v << c skal transformationen kunne reduceres til Galilei transformationen.

Vi starter med den simpleste del af udledningen, nemlig transformationen af y- og z-aksen. Disse to akser står vinkelret på x-aksen, hvilket betyder at der ikke er nogen forandring i disse koordinater. Dette kan let indses ved hjælp af Einsteins togeksperiment, hvor man ser på tilfældet hvor to lyn slår ned på hver sin skinne. En passager som står lige midt i togvognen og altså også lige midt mellem skinnerne, vil se de to lysglimt samtidig, fordi der hele tiden vil være lige langt hen til de to nedslagspunkter selvom toget bevæger sig. En person som står udenfor toget midt mellem skinnerne vil selvfølgelig også se de to lysglimt samtidig. Eftersom de to personer kan blive enige om, at de to nedslag skete samtidig kan de også blive enige om afstanden mellem dem. At afstanden er ens kan bevises med simpel geometri, men faktum er at der ikke sker nogen ændring i koordinaterne vinkelret på bevægelsesretningen.





Til at udlede transformationen af x og t benytter vi først punkt (2) og (4). Vi starter med at opstille en lineær transformation af de to koordinater.





Ud fra punkt (4) kan vi reducere fire at de otte koefficienter væk, hvilket betyder vi får fjernet y og z afhængigheden. Dette kan gøres fordi x' = x = 0 når t' = t = 0.





Vi har nu to simple lineære udtryk tilbage, hvor vi blot skal bestemme koefficienterne.





Vi skal nu have bestemt størrelsen af de fire resterende koefficienter. Hvis S' bevæger sig langs den fælles x-akse med hastigheden v, må det gælde at x' = 0 hvis x = vt, hvilket medfører nedenstående.



Vi ser nu på den modsatte situation, hvor S bevæger sig langs den fælles x-akse med hastigheden –v, hvilket betyder at x = 0 når x' = -vt'.



Vi har nu udledt to forskellige udtryk for -v, som vi kan sætte op mod hinanden.



Ud fra dette udtryk kan vi konkludere at de to nævnere må være ens, a11 = a44. Vi kan nu sætte vores nye sammenhæng mellem koefficienterne ind i de to udtryk for x' og t'.





Hvis vi nu ændrer notationen, kan vi komme ned på kun to koefficienter.





Hvilket medfører følgende.





Til at bestemme værdien for alfa benytter vi (1) at lysets hastighed er invariant i de to inertialsystemer, hvilket må betyde at nedenstående er gældende.





Substitueres disse værdier ind i vores udtryk for x' og t', får vi nu de to følgende sammenhæng.





Ud fra dette kan vi nu bestemme et udtryk for alfa.







Vi har nu fået bestemt den ene konstant, så mangler vi kun den sidste. Vi ser nu på en lysbølge som bevæger sig langs y-aksen (hvor vi allerede har vist at der ikke sker nogen transformation), altså er x = z = 0 og y = ct. Dette giver os nedenstående værdier.









Ved at benytte Minkowski-metrikken fås nedenstående sammenhæng for en lysbølge.



Hvis vi indsætter de relevante værdier, kan vi endeligt bestemme et udtryk for gamma.









Nu er vi altså endelig kommet frem til Lorentz transformationen, som i sit endelige resultat vises som vi kender dem.


Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 8 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.