Note

Tolegemeproblemet



Skitse af systemts udformning

Tolegemeproblemet er løsningen af den indbydes bevægelse mellem to objekter, som har omtrent samme masse. Det kan f.eks. være to stjerner som kredser om hinanden (eller mere bestemt omkring et fælles tyngdepunkt) eller Månens bevægelse omkring Jorden. I denne note gennemgås den matematiske løsning ved brug af systemets Lagrange funktion. Udledningen har mange ligheder med udledningen af Keplers første lov, som siger at planeter kredser om solen i ellipseformede baner. For at udlede bevægelsesligningerne tages der udgangspunkt i figuren til højre og nedenstående Lagrange funktion.



I ovenstående skal vi bemærke at r1 og r2 er vektorer og k = Gm1m2 er gravitationskonstanten ganget med de to masser. De to første led er den kinetiske energi af de to legemer og det sidste led er det gravitationelle potentiale. Som ligingen står her, er den ikke specielt praktisk at arbejde med. Derfor omskriver vi udtrykket ved at indføre to nye udtryk.





Vektoren R beskriver bevægelsen af massemidtpunktet og µ er den reducerede masse. Ved at benytte disse udtryk, kan vi nu opskrive Lagrange funktionen på følgende måde.



Vi benytter nu Euler-Lagrange ligningen til at bestemme bevægelsesligningen for R.



Ud fra ovenstående kan vi således se at accelerationen af R er nul, hvilket medfører at massemidtpunktet bevæger sig med konstant hastighed. På samme måde kan vi nu bestemme bevægelsesligningen for r (husk at dette stadig er en vektor).



Ud fra ovenstående resultat kan vi udlede, at bevægelsen foregår i en plan, hvilket forsimpler de restende udledninger markant, fordi vi kan skifte til polære koordinater (vi bruger således kun ovenstående udtryk til at vise at bevægelsen foregår i en plan). For at omskrive til polære koordinater har vi specifikt brug for de tidsafledte af x og y udtrykt i polære koordinater.





Vi starter nu med at indsætte dette i Lagrange funktionen, hvor vi ignorere det første led som ikke har relevans når vi arbejder med r.



Vi kan nu bestemme bevægelsesligningen for θ.



Fra dette resultat ser vi at udtrykket i parentesen er en bevaret størrelse. Ved en simpel udregning kan det vises at dette er bevarelse af impulsmoment (hvilket altid er bevaret i en centralt kraft-problem). Betragt følgende omskrivning af impulsmomentet og sammenlign med ovenstående resultat.



For at opsummere har vi nu vist tre ting, nemlig at (1) massemidtpunktet bevæger sig med konstant hastighed, (2) bevægelsen foregår i en plan og (3) at impulsmomentet er bevaret i systemet. Som det næste ser vi nu for bevægelsesligningen for r. Vi har allerede bestemt denne bevægelsesligning, men efter skiftet til polære koordinater vil den se anderledes ud.



Ovenstående resultat er den ligning som vi vil arbejde videre med i resten af udledningen. Vi starter dog med at lave en omskrivning af ligningen ved af gange med den tidsafledte af r i alle led.



Vi kan omskrive dette resultat, hvorved vi kan trække en tidsafledt udenfor en parentes, hvilket gør os i stand til at udnytte energibevarelsen i systemet.



Dette viser nu, at størrelsen i parentesen er bevaret og denne størrelse svarer til energien E i systemet. Derfor opskriver vi nu ligningen på følgende måde.



Det første led er den kinetiske energi og de sidste to led svarer til et effektivt potential. Vi er interesseret i at bestemme et udtryk for afstanden r, hvilket vi kan gøres ved at omformulere differentialligningen en smule (der er sådan set både en positiv og en negativ løsning når vi tager kvadratroden, men dette er implicit forstået).



Det er faktisk ikke særlig interessant at bestemme afstanden som funktion af tiden. Derfor vil vi gerne omskrive udtrykket så afstanden bliver en funktion af vinklen θ i stedet. Dette kan gøres ved at benytte kædereglen.



Her har vi benyttet udtrykket for impulsmomentet til at omskrive ligningen. Ved at indsætte udtrykket for det effektive potential, får vi nu følgende differentialligning.



Differentialligningen herover er ikke lige til at løse, men det bliver væsentligt nemmere hvis vi laver substitutionen u = 1/r, hvorved følgende fremkommer.



Denne differentialligningen kan løses ved separation af de variable, hvilket resultatere i nedenstående udtryk.



Det første integrale er trivielt, men det næste kan godt virkelig lidt uoverskueligt. Ved brug af kvadratkomplettering (eng: completing the square) kan vi dog omskrive integralet på følgende måde.



I ovenstående udtryk har jeg indført to nye konstanter a og b, som er givet ved nedenstående udtryk.





Vi kan nu lave en simpel substitution for at løse integralet. Dette gøres på følgende måde.



Ved at benytte denne substitution får vi et integral på en form, som vi nemt kan løse (eventuelt ved at slå op i en tabel).



Ved at indsætte de forskellige værdier igen, fås det endelige resultat.



Ovenstående er et ret grimt resultat, så derfor indføre vi igen et par nye konstanter, som forsimpler udtrykket.





Konstanten p beskriver parameteren i ellipsen og e er excentriciteten. Heraf fås det endelige resultat.




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 20 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.