Note

Separation af de variable


Calculus
Grundlæggende
Grænseværdi
Differentiation
Differentialregning · Partielle afledede
Kædereglen · Separation af de variable · Taylorpolynomium · Differentiale
Integration
Integralregning · Integration ved substitution · Partiel integration · Indskudssætningen
Anvendelser
Omdrejningslegeme · Linearisering
Tangent · Hastighed og acceleration
Laplaces ligning · Kurvelængde
Separation af de variable er en matematisk metode til løsning af differentialligninger, ved at isolerer de to sæt variable på hver sin side af lighedstegnet. Separation af de variable kan benyttes på differentialligninger med nedenstående form.



For at løse ligningen ønsker man at bestemme , som er den funktion der opfylder ligningen. Hvis vi nu lader være løsningen til udtrykket herover, så betyder det at løsningen kan skrives på nedenstående form.



Bevis


Beviset for separation af de variable fremkommer på følgende måde. Man antager at og er kontinuerte funktioner. Desuden skal være forskellige fra 0, for at metoden fungerer (eftersom vi ellers vil opnå en division med nul). Der tages udgangspunkt i nedenstående differentialligning.



Da er kontinuert findes stamfunktionen . Tilsvarende findes



Ved at benytte en af regnereglerne for sammensatte funktioner, kan ovenstående udtryk omskrives til nedenstående udtryk.



Vi flytter nu leddet på højre side over til venstresiden.



Udtrykket kan omskrives så differentieringen kommer til at dække begge led på én gang, ved at benytte differentiation af en differens.



Da differentialkvotienten er nul, er funktionen konstant. Derfor gælder følgende:



Da kan vi omskrives udtrykket en smule, så det kommer til at se ud som følgende:



Herefter kan vi flytte H(x) over på højresiden igen, så vi ender med nedenstående udtryk.



Da vi nu er kommet frem til definitionen på G og H, kan vi integrere dem, så vi får vores løsning.




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 7 ms og der blev foretaget 2 databaseforespørgsler.