Note

Relativistisk energi og impuls


I den specielle relativitetsteori er alle inertialsystemer ligeberettiget og derfor skal bevarelsen af energi og impuls være opfyldt i alle inertialsystemer. For at opfylde dette, kræver det en mindre tilføjelse til den velkendte newtonske udgave. De nye udtryk for impuls og energi opskrives normalt på nedenstående måde.





Hvor gamma er Lorentz faktoren, som kendes fra Lorentz transformationen. Desuden er u hastigheden af objektet og m er objektets hvilemasse.



Som det kan ses går hvis , hvilket resultere i det oprindelige ikke-relativistiske udtryk. For at få det oprindelige udtryk for energien skal binomialformlen dog også benyttes.

Bevis for nødvendigheden af relativistisk udvidelse



Et elastisk stød mellem to partikler set i to forskellige inertialsystemer.

For at bevise behovet for en relativistisk udvidelse af de klassiske udtryk for energi og impuls, ser vi på et elastisk sammenstød mellem to partikler, set i to forskellige inertialsystemer. Det første inertialsystem, betegnet S, bevæger sig med hastigheden v. Partiklernes hastighed i dette system afhænger af hastigheden i det andet inertialsystem, som betegnes . I dette inertialsystem ved vi til gengæld at begge partikler før sammenstødet bevæger sig mod hinanden med hastigheden v langs x-aksen. Eftersom den kinetiske energi er bevaret under et elastisk stød, bevæger partiklerne sig efter sammenstødet væk fra hinanden med hastigheden v langs y-aksen. Ved at bevise at impulsen ikke er bevaret i det første inertialsystem, S, kan vi slutte at der er brug for en relativistisk udvidelse. Impulsen er som bekendt produktet af hastigheden og massen og derfor skal vi kende hastigheden af begge partikler i det første inertialsystem, både før og efter sammenstødet. Ved hjælp af Lorentz transformationen for hastigheder, beregner vi først hastigheden af de to partikler i inertialsystemet S før sammenstødet.





Den samlede impuls før sammenstødet kan altså nemt beregnes til nedenstående.



Efter sammenstødet i S` antager vi at partikel 1 bevæger sig opad, mens partikel 2 bevæger sig nedad, begge med hastigheden v. Vi kan nu beregne hastigheden i S efter sammenstødet. Her skal man dog lige være opmærksom på, at der i dette tilfælde er to hastighedskomposanter at tage hensyn til.









Den samlede impuls efter sammenstødet kan nu også nemt beregnes.



Som det kan ses er de to udtryk for impulsen ikke ens, altså er der ikke impulsbevarelse i inertialsystemet. Med omskrivningen af de klassiske udtryk for energi impuls opnås denne bevarelse af impulsen.

Lorentz transformation af energi og impuls


Ligesom alt andet der har med speciel relativitetsteori at gøre, kan man benytte Lorentz transformation til at transformere energi og impuls fra et inertialsystem til et andet. For at gøre dette skal man kende et udtryk for γ(u´), hvilket er det mest besværlige at finde i forbindelse med bestemmelsen af transformationerne. γ(u´) kan helt traditionelt opskrives på nedenstående måde.



Til at starte med fokuserer vi kun med det som står under kvadratrodstegnet. Her substituere vi udtrykene for transformation af hastigheder ind og reducerer udtrykket.







Hvis vi nu sætter udtrykket ind under kvaratrodstegnet igen, får vi til sidst et meget pænere udtryk.



Udledningen af transformationerne kommer nu helt automatisk. Det fundne udtryk indsættes bare i udtrykkene for energi og impuls, hvorved transformationen fremkommer.









Masseløse partikler

For masseløse partikler, eller partikler som bevæger sig med lysets hastighed, opstår der et problem med de nævnte formler. En masseløs partikel og en partikel som bevæger sig med lysets hastighed hænger uløseligt sammen. Kun en partikel uden masse vil være i stand til at bevæge sig med lysets hastighed, da alt andet vil kræve uendelige mængder energi. Energien af en partikel med lysets hastighed, kan derfor beregnes med nedenstående simple formel.




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 7 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.