Note

Omdrejningslegeme


Et omdrejningslegeme er et matematisk begreb, der betegner det rumlige objekt, som fremkommer, hvis man drejer grafen for en funktion 360 grader rundt om enten x-aksen eller y-aksen.

Omkring x-aksen


Volumenet af et omdrejningslegeme omkring x-aksen beregnes med denne formel:



Bevis


Eksempel på et omdrejningslegeme
omkring x-aksen

Beviset for volumenformlen kan udledes på følgende måde. Vi starter med den generelle formel for volumen af en cylinder, som er givet herunder.



Vi forestille os at vi skærer figuren i en masse tynde skiver, hvor hver skives rumfang kan beskrives ved:



Hver skive har højden ∆x og hvis ∆x er meget lille kan skiven opfattes som en cylinder med højden ∆x og radius . Her kan opfattes som værdien der ligger mit i intervallet ∆x. Summen af alle skiverne giver det samlede volumen, hvilket kan opskrives som:



Hvis vi nu lader størrelsen af skiverne gå mod 0, kan vi bestemme grænseværdien.



Da vi lader ∆x gå må 0 bliver den uendelig lille (infinitesimal) og kan derfor omskrives til dx. Ved at gøre dette kan vi omskrive summen til et integral, hvorved det endelige resultat fremkommer.



Omkring y-aksen


Volumenet af et omdrejningslegeme omkring y-aksen beregnes med denne formel:



Bevis


Eksempel på et omdrejningslegeme omkring y-aksen

Arealet afgrænset af kurven, x-aksen og linjerne x = a og x = b roteres 360 grader om y-aksen. Man starter med at udvælge et delareal af længden ∆x og højden . Når man deler figuren op i mange delarealer kan hver dels rumfang betragtes som et cylinderrør, hvilket normalt beregnes med denne formel.







Da R og r er næsten lige store, bliver R - r det samme som ∆x og R + r bliver ca. . Derfor kan vi omskrive formlen til dette:



Det samlede volumen kan opskrives som en sum over alle delarealer.



Vi finder, ligesom ved x-aksen, grænseværdien når ∆x går mod 0.



Da vi lader ∆x gå må 0 bliver den uendelig lille (infinitesimal) og kan derfor omskrives til dx. Ved at gøre dette kan vi omskrive summen til et integral, hvorved det endelige resultat fremkommer.




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 5 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.