Note

Minkowski metrik


Minkowski metrikken er en relativistisk udvidelse af det euklidiske linjeelement, som især benyttes i forbindelse med speciel relativitetsteori. Det euklidiske linjeelement tager ikke højde for at afstand og tid er en relativ størrelse, hvilket er tilfældet når man arbejder med Minkowski metrikken. Rent matematisk er Minkowski metrikken, eller Minkowski tensoren, som den også kaldes, defineres på følgende måde.



Ved at kombineres ovenstående tensor med firevektoren for rumtiden, kan den invariante afstand mellem to begivenheder i rumtiden defineres på følgende måde, hvor dx betegner forskellen mellem de to firevektorer som hver især beskriver de to begivenheder.



Hvis ovenstående skrives ud, fås nedenstående resultat, som er væsentligt mindre abstrakt end definitionen på tensor og firevektor form.



Det skal her bemærkes at de to begivenheder antages at foregå i samme inertialsystem. Hvis man transformere begivenhederne til et nyt inertialsystem i bevægelse, vil den rumlige adskillelse ændres og det samme vil den tidslige adskillelse, men summen vil være den sammen, altså vil ds2 være konstant. Dette gør at man ofte deler begivenheder op i tre forskellige typer, som beskrevet herunder.

  • ds2 < 0: Timelike: I dette tilfælde findes der et inertialsystem hvor de to begivenheder sker på samme sted, men til to forskellige tidspunker.
  • ds2 > 0: Spacelike: I dette tilfælde findes der et inertialsystem hvor de to begivenheder sker på samme tidspunkt, men to forskellige steder.
  • ds2 = 0: Lightlike: I dette tilfælde er de to begivenheder sammenkoblet ved hjælp af et signal som rejser med lysets hastighed.

Det skal desuden bemærkes at Minkowski-metrikken ikke tager højde for rummets eventuelle krumning eller udvidelse. Dette betyder at Minkowski-metrikken kun kan anvendes for et fladt univers som ikke udvider sig. Hvis man derimod har brug for afstanden mellem to punkter i et univers som er krumt eller som har en udvidelse, kan man i stedet benytte Robertson-Walker-metrikken.

Sfæriske koordinater


Da man sjældent benytter rektangulære koordinater i forbindelse med universet, men derimod sfæriske koordinater, kan det være praktisk at omskrive udtrykket. For sfæriske koordinater gælder følgende omskrivningsregler:







Da vi i linjeelementet benytter differentialet, skal differentialet af disse omskrivningsregler bestemmes.







Hvis differentialerne kvadreres og indsættes i udtrykket for ds2, fås et rimelig voldsomt udtryk, som bør reduceres i et CAS-værktøj. Reducering med Maple giver nedenstående udtryk:



Ved at benytte nedenstående identitet, også kendt som idiotreglen, kan vi substituerer cosinus.



Hvis denne regel benyttes på vores udtryk, fås nedenstående.





Som det ses, går de to første led ud med hinanden og i resten af udtrykket sættes r2 udenfor en parentes, hvorved vi kommer frem til nedenstående resultat:




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 7 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.