Note

Laplaces ligning


Calculus
Grundlæggende
Grænseværdi
Differentiation
Differentialregning · Partielle afledede
Kædereglen · Separation af de variable · Taylorpolynomium · Differentiale
Integration
Integralregning · Integration ved substitution · Partiel integration · Indskudssætningen
Anvendelser
Omdrejningslegeme · Linearisering
Tangent · Hastighed og acceleration
Laplaces ligning · Kurvelængde
Laplaces ligning er en anden ordens differentialligning. Alle løsninger til Laplaces ligning er harmoniske funktioner, som ofte er vigtige funktioner indenfor områder der beskæftiger sig med felter, såsom fluidmekanik, astronomi og elektromagnetisme. Laplaces ligning opskrives normalt på nedenstående form, hvor Laplaceoperatoren dækker over summen af alle de anden ordens partielle afledede funktioner.



Laplaceoperatoren svarer til divergensen af gradienten, hvilket resulterer i en anden ordens differentiering. Laplaceoperatoren differentierer normalt kun i forhold til de tre rumlige koordinater og altså ikke i forhold til en eventuel tidskoordinat. For en funktion i tre variable x, y, z, kan Laplaces ligning altså opskrives på nedenstående måde.



Harmonisk funktion

Laplaces ligning kan som sagt benyttes til at bestemme hvorvidt en funktion er harmonisk. Hvis en funktion z er oplyst, kan vi tjekke om den er harmonisk ved at benytte Laplaces ligning.



De to afledte funktioner i forhold til x og y giver nedenstående resultat.





Som det ses herunder er summen af de to afledte funktioner lig med nul, altså er denne funktion en løsning til Laplaces ligning, hvilket betyder at funktionen harmonisk.




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 11 ms og der blev foretaget 2 databaseforespørgsler.