Note

Komplekse tal


De komplekse tal er en udvidelse af de reelle tal. I de reelle tal er der regneoperationer, som ikke kan lade sig gøre, man kan f.eks. ikke tage kvadratroden af et negativt tal og derfor kan man heller ikke løse ligningen -1 = x2 inden for de reelle tal. Derfor har man udvidet talmængden med de komplekse tal, hvor de almindelige regneregler gælder.

  1. a + b = b + a og a × b = b × a (den kommutative lov)
  2. (a + b) + c = a + (b + c) og (a × b) × c = a × (b × c) (den associative lov)
  3. 0 og 1 er neutrale elementer
  4. a + (-a) = 0 og b × b-1 = 1 (modsat og inverse elementer eksisterer)
  5. (a + b) × c = a × c + b × c (distributive lov)

Repræsentationsformer



Komplekst tal repræsenteret på
rektangulær form


Komplekst tal repræsenteret på
polær form

Komplekse tal har flere forskellige repræsentationsformer, som hver især har sine fordele og ulemper. Den mest almindelige er den rektangulære repræsentation, men den polære og eksponentielle repræsentation gør det ofte nemmere at lave nogle former for udregninger.

Rektangulær
Et komplekst tal på rektangulær form opskrives på nedenstående form, hvor a kaldes for den reelle del og b kaldes for imaginære del.



Polær
Når man benytter polære koordinater, kan man opskrive et komplekst tal på to forskellige måder.

Eksponentiel form:
Trigonometrisk form:

Vinklen theta kaldes for argumentet og længden |z| kaldes for modulus.

Imaginærdelen

I et komplekst tal indgår der altid et i, som kaldes den imaginære enhed. Den imaginære enhed er defineret som: . Med denne definition har man nu mulighed for at løse alle tænkelige ligninger.

Omskrivning mellem polær og rektangulært form


Der findes forskellige regneregler, som kan benyttes når man skal omskrive et komplekst tal fra en form til en anden.

Fra rektangulær til eksponentiel form
Når man har et komplekst tal på rektangulær form kan man beregne modulus og argumentet med nedenstående regneregler.

Modulus beregnes med formlen herunder.



Argumentet er lidt mere besværligt at omskrive da det afhænger af forskellige faktorer, men følgende regler kan benyttes.

Hvis a > 0:

Hvis a < 0:

Hvis a = 0 og b > 0:

Hvis a = 0 og b < 0:


Fra eksponentiel til rektangulær form
Når man omvendt har et komplekst tal på polær form, kan man nemt beregne a og b med de to nedenstående formler.




Regneregler


Eftersom komplekse tal har de samme regneregler som reelle tal, må regnereglerne være som følgende.

Addition


Subtraktion:


Multiplikation:
Rektangulær:
Polær:

Division:


Potens:



Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 6 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.