Note

Keplers love



Skitsering af energifordelingen i et centralt kraftfelt.

Inden vi udleder Keplers love for planetbevægelser, starter vi med at kigge på energifordelingen i et centralt kraftfelt. Skitsen til højre viser hvordan fordelingen af energi forholder sig. På skitsen betegner V potentiel energi og E betegner den totale energi, altså summen af potentiel og kinetisk energi. Som det kan ses er den totale energi konstant, hvilket skyldes loven for energibevarelse. Desuden svarer afstanden mellem den totale energi (grå linje) og den totale potentielle energi (rød linje) til den kinetiske energi i systemet. Ud fra denne graf kan vi observere følgende.

  • Når radius øges mindskes den kinetiske energi, men samtidig øges den totale potentielle energi. Dette betyder, at når et objekt er tættest på solen har det størst kinetiske energi og derfor også den største hastighed. Modsat har objektet højst potentiel energi når de er længst fra solen, men til gengæld også lavest hastighed.
  • Som det kan ses består den potentielle energi af to dele, en tiltrækkende og en frastødende. Den tiltrækkende energi er selvfølgelig forårsaget af tyngdekraften, hvorimod den frastødende skyldes impulsmomentet. Impulsmomentet er konstant i et centralt kraftfelt og den potentielle energi forårsaget af impulsmomentet aftager som 1/r2, mens den potentielle energi for tyngdekraften vokser som 1/r. Som det også ses på skitsen medføre dette, at den potentielle energi forårsaget af impulsmomentet aftager hurtigere, end den potentielle energi forårsaget af tyngdekraften vokser.
  • Det kan ikke ses direkte af denne skitse, men den totale energi bestemmer formen på et objekts bevægelse omkring Solen. De forskellige former for bevægelse kan bedst beskrives når et udtryk for objektets bevægelse omkring Solen er udledt.

Til udledningen af et udtryk for planetbevægelse i et centralt kraftfelt, antager vi først at Solen befinder sig i en ellipses ene brændpunkt, mens planeten bevæger sig rundt i ellipsens bane. Inden vi går i gang sætter vi først nogle størrelser på de forskellige former for energi vi arbejder med.





Ud fra dette kan den totale energi i systemet opskrives som summen af kinetiske og potentiel energi.



Udledning af Keplers 2. lov



Skitse som viser arealet udspændt af en
vinkel og radiussen.

Vi starter med Keplers 2. lov fordi den delvist danner grundlag for udledning af de to andre love. Keplers 2. lov siger som bekendt, at radius overstryger lige store arealer i lige store tidsrum. Hvis er lille nok, kan arealet beskrives som en trekant.



Eftersom det er arealet over tid som er konstant, differentieres udtrykket i forhold til tiden.



Ud fra definitionen af impulsmoment for roterende legemer kan vi isolere et udtryk for den første afledede af theta. Impulsmomentet kan udtrykkes på nedenstående måde.



Hvis theta isoleres fås nu det ønskede udtryk.



Substitueres dette ind i vores udtryk for arealet, fås nedenstående.



Impulsmomentet L er konstant i et centralt kraftfelt, hvilket er essentielt i vores udledning af Keplers love. Desuden er masse m selvfølgelig også konstant og derfor har vi bevist at arealet per tid er konstant.

Udledning af Keplers 1. lov



Skitsen viser en planet P, i en ellipsebane med Solen i
det ene brændpunkt.

Skitsen til højre danner mere eller mindre grundlag for vores udledning af Keplers 1. lov. Skitsen viser en planet P, i en vinkel theta fra perihelium. Planeten befinder sig i en afstand r fra solen med retningsvektoren er. Retningsvektoren kan udtrykkes ved hjælp af cosinus og sinus på følgende måde.



Kraften som virker mellem planeten og solen kan herefter udtrykkes ved retningsvektoren og kraften f(r) som er kraften i et centralt kraftfelt.



Ud fra Newtons anden lov kan kraften også opskrives ved hjælp af retningsvektoren.



Hvis vi nu samler de to udtryk ovenover, fås et udtryk for den radiale kraft i et centralt kraftfelt.



Vi bestemmer nu en størrelse ar, som er accelerationen i den radiale retning. Dette gøres ud fra retningsvektoren og accelerationen.



Da vi har mulighed for at bestemme et udtryk for den anden afledede af både x og y, vælger vi at gøre det.





Substitueres de to ovenstående udtryk ind i udtrykket for den radiale acceleration, fås et ganske simpelt udtryk, fordi det meste kan forkortes væk.



Udtrykket for kraften i et centralt kraftfelt kan nu omskrives ved hjælp af vores nye radiale acceleration.



Fra udledningen af Keplers 2. lov kender vi et udtryk for den første afledede af theta, som stammer fra impulsmomentet. Hvis dette substitueres ind i vores ligning, kan den igen omskrives.



Vi har nu et udtryk for kraften i et centralt kraftfelt hvor radiussen afhænger af tiden, men det vi ønsker er et udtryk hvor radiussen afhænger af vinklen theta. Derfor omskrives udtrykket ved hjælp af bl.a. kædereglen, så vi opnår et udtryk hvor radiussen afhænger af vinklen. Dette er mildest talt en smule langhåret, men det gøres på følgende måde.





Det endelige udtryk herover er ikke særlig pænt at arbejde med, men i første omgang indsætter vi det i udtrykket for kraften i et centralt kraftfelt.



Der indføres nu en konstant u ≡ 1/r, som gør udtrykket en del pænere at arbejde med, men først differentieres u i forhold til r, da vi for brug for dette udtryk et par gange undervejs.



Udtrykket for kraften i et centralt kraftfelt kan endnu engang omskrives, denne gang med vores nye konstant u substitueret ind, samt ved at benyttede kædereglen.



Kraften for et tyngdefelt er en kvadratlov (engelsk: inverse-square law), hvilket betyder at kraften i et centralt kraftfelt kan udtrykkes på følgende måde, hvor konstanten k = GMm.



Hvis dette substitueres ind fås nedenstående ligning, som kaldes Binets ligning.



Vi har nu opnået en relativt simpel uhomogen andenordens differentialligning, som blot skal løses. Løsningen til en andenordens differentialligning består af to dele, en homogen og en partikulær. Den partikulære løsning er i dette tilfælde blot konstanten på venstresiden.



Når vi kender den partikulære løsning, kan vi også sige noget om den homogene løsning.



Den homogene løsning er i dette tilfælde lig med nedenstående, hvor e og θ0 er to nye integrationskonstanter.



Den samlede løsning er derfor summen af den partikulære og den homogene løsning.



Hvis udtrykket igen omskrives til at indeholde r i stedet for u, fås radiussen endeligt som en funktion at vinklen.



I det endelige udtryk beskriver e excentriciteten og θ0 er en vinkelforskydning. Det første led L2/mk er desuden impulsmomentet.

Energiens betydning for banetypen



Sammenhænget mellem den totale energi og banetypen.

Da vi nu har udledt et udtryk for en planets bevægelse rundt i banen, kan vi beskrive excentriciteten ud fra den totale energi i systemet og derved bestemme hvilken type banebevægelse der er tale om. Den totale energi er selvfølgelig summen af den kinetiske energi og den potentielle energi. I det nedenstående regnes først udtrykket for den kinetiske energi, da det er rimelig omfattende.



Vi substituere igen u ind i udtrykket for at forsimple det lidt.



Den potentielle energi er ganske simpelt givet ud fra tyngdekraften, som i dette fælde er beskrevet af vores funktion f(r).



Den fundne løsning for u substitueres nu ind i det samlede udtryk for energien, hvorved det endelige udtryk for den totale energi fremkommer.



Ovenfor har vi nu udtrykket for den totale energi som funktion af excentriciteten, men i praksis er det excentriciteten som er bestemt af banens totale energi. Ved at isolere excentriciteten fås nedenstående udtryk.



Banetyper

Der findes nu fire teoretiske muligheder for et objekts banetype, alt efter hvor stor excentriciteten er.

  • Hvis e > 1 medføre det at E > 0 og i dette tilfælde vil banen være hyperbolsk.
  • Hvis e = 1 medføre det at E = 0 og i dette tilfælde vil banen være parabolsk.
  • Hvis 0 < e < 1 medføre det at 0 > E > -mk2/2L2 og i dette tilfælde vil banen være elliptisk.
  • Hvis e = 0 medføre det at E = -mk2/2L2 og i dette tilfælde vil banen være cirkulær.

I praksis observerer man kun den elliptiske banebevægelse. Hvis en asteroide eller komet bliver skubbet ind mod solen af et andet objekt kan hyperbolske eller parabolske banebevægelser i teorien godt opstå. Dette betyder at objektet vender inde forbi solen og derefter aldrig kommer tilbage igen.

Udledning af Keplers 3. lov


Ved hjælp af alle de formler som er udledt under Keplers første og anden lov, kan vi relativt nemt bevise den tredje og sidste lov. Keplers 3. lov siger rent matematisk at a3/T2 = C, hvor C er en konstant, T er omløbstiden og a er den halve storakse. For at bevise dette bestemmer vi først et udtryk for den halve storakse og den halve lilleakse b, eftersom vi netop har vist at planeterne bevæger sig i ellipsebaner. Hvis vi starter med at se på radiussen for en ellipse, kan vi bestemme et udtryk for den halve storakse.



Vi har også beregnet et udtryk for excentriciteten som vi kan substituere ind, hvilket giver os nedenstående resultat.



Selve udtrykket for a skal vi sådan set ikke bruge, men jeg har alligevel lige taget det med. Det er i virkeligheden kun den midterste sammenhæng som vi har brug for, når vi herunder bestemmer et udtryk for den halve lilleakse.



Vi kan nu beregne et udtryk for arealet, som funktion af den halve storakse. Dette giver os nemlig mulighed for at bestemme sammenhænget mellem den halve storakse og arealet.



Hvis vi nu husker tilbage til udledningen af Keplers 2. lov, har vi et sammenhæng mellem arealet og tiden. Hvis vi nu lader arealet være det totale areal af ellipsen, bliver tiden den totale omløbstid. Vi får altså nedenstående sammenhæng, hvor jeg også har kvadreret udtrykket, da vi har brug for den kvadrerede omløbstid.



Sættes det fundne udtryk for arealet ind, fås nu den ønskede sammenhæng mellem omløbstiden og den halve storakse.



Som det kan ses får vi et konstant udtryk på højresiden, altså har vi bevist Keplers 3. lov.


Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 11 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.