Note

Integration ved substitution


Calculus
Grundlæggende
Grænseværdi
Differentiation
Differentialregning · Partielle afledede
Kædereglen · Separation af de variable · Taylorpolynomium · Differentiale
Integration
Integralregning · Integration ved substitution · Partiel integration · Indskudssætningen
Anvendelser
Omdrejningslegeme · Linearisering
Tangent · Hastighed og acceleration
Laplaces ligning · Kurvelængde
Integration ved substitution er en matematik metode til at integrere sammensatte funktioner. Integration ved substitution er også modstykket til kædereglen som anvendes ved differentialregning. Sætningen kan bl.a. opskrives på nedenstående måde.



Hvor g(x) er substitueret med t. Det vil sige at , hvilket igen medfører at . Derfor kan udtrykkes også skrives på nedenstående måde, som muligvis er nemmere at forstå.



I skriftsprog siger sætningen, at integralet af en sammensat funktion er lige med den indre funktion indsat i stamfunktionen af den ydre funktion.

Udledning af sætning


For at udlede sætningen tager man udgangspunkt i differentialet en sammensat funktion.



Når man integrere dette udtryk på begge sider kommer man frem til nedenstående udtryk.



Man omdøber nu f'(x) til f(x) og for at ligningen forbliver uændret, skal f(x) ændres til stamfunktionen F(x).



Eksemple på brug


Vi vil integrere denne funktion:



Vi stater med at dele funktionen op i de nødvendige dele:









Vi kan nu sætte de forskellige dele ind i formlen, og regne integralet ud.



Og vi når altså frem til resultatet:




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 6 ms og der blev foretaget 2 databaseforespørgsler.