Note

Firevektor


Firevektorer er en bestemt type vektor som benyttes i forbindelse med speciel relativitetsteori til at beskrive f.eks. en begivenhed i et Minkowski rum. En firevektor har den egenskab, at den kan transformeres ved hjælp af Lorentz transformation, således at man nemt kan knytte to begivenheder sammen. Firevektorer kan benyttes til at transformere flere forskellige typer begivenheder i et Minkowski rum, herunder tid- og stedkoordinater, impuls og energi, samt strømtæthed og ladningsdensitet. Firevektoreren for tid- og stedkoordinater er givet på nedenstående måde.



Superskriftet (0,1,2,3) betegner rumtidsdimensionerne, desuden er c lysets hastighed og denne er indført således at alle koordinaterne har enheden af længde. Det indre produkt mellem to firevektorer er defineret på nedenstående måde, hvor η er Minkowski metrikken (valget af metrik bestemmer hvilke fortegn er benyttes). Desuden er udtrykket opskrevet i Einstein notation, hvilket betyder at man automatisk summere over gentagede indices.



Når man arbejder med firevektorer har det betydning, hvorvidt rumtidsdimensionerne skrives som et super- eller subskrift. Hvis man laver et superskrift om til et subskrift, eller omvendt, skal man benytte den tilknyttede metrik. Dette betyder at det indre produkt også kan opskrives på følgende måde.



Hvis indekset står som et subskrift kaldes vektoren for covariant og omvendt hvis indekset står som et superskrift kaldes vektoren for contravariant (dette er nærmere forklaret herunder). Hele ideen ved firevektorer er nu, at alle størrelser, som kan udtrykkes som en firevektor, transformerer på samme måde under Lorentz transformationen. Dette betyder at vi kan definere Lorentz matricen, så transformationen af firevektorer foregår på følgende måde.



Ovenstående matrice betegnes også med Λ, hvilket betyder at ovenstående også kan opskrives på nedenstående form, hvor der ligeledes benyttes Einstein notation.



Covariant vs. Contravariant

Forskellen mellem covariante og contravariante objekter afhænger af den måde hvorpå objektet transformere under Lorentz transformation. Almindeligvis gælder det at en vektor med hævet indeks er contravariant, mens en vektor med sænket index er covariant. Der er dog en mere stringent formulering, som angivet herunder.

Contravariant
Alle objekter der transformere på følgende måde under Lorentz transformation kaldes contravariante.



Covariant
Alle objekter der transformere på følgende måde under Lorentz transformation kaldes covariante.



Invariant
Ud fra ovenstående definitioner er det nemt at vise at det indre produkt mellem en covariant og en contravariant vektor er invariant under Lorentz transformation.



Eksempler for firevektorer


Der findes mange forskellige fysiske størrelser som kan udtrykkes ved at benytte firevektorer. Firevektorer erstatter alle de normale udtryk fra klassisk mekanik, således at man altid regner i firevektorer når man arbejder inden for rammerne af den specielle relativitetsteori. En bestemt ting som man bør bemærke er, at man altid ser tingene i forhold til egentiden, hvilket er essentielt. Hvis man ikke opfattede tingene ud fra deres egenhastighed, ville man nemt kunne opnå hastigheder større end lysets.

Egenhastighed (Fire-hastighed)

Hvis et inertialsystem bevæger sig med en given hastighed, set fra et stillestående inertialsystem, vil to observatører i hvert sit inertialsystem ikke være enige om hastigheden. Den hastighed som observatøren i det bevægende inertialsystem opfatter, kaldes for egenhastigheden. Denne størrelse kan beregnes ved at differentiere firevektoren for tid- og stedkoordinaterne i forhold til egentiden, tau, altså den tid som er tilknyttet det bevægende inertialsystem.



Kraft (Fire-kraft)

I klassisk mekanik er kraften lig med den tidsafledte af impulsen. Når man fører dette resultat over i speciel relativitetsteori, så afleder man blot firevektoren for impulsen i forhold til egentiden, som vist herunder. Fire-kraften betegnes i visse tilfælde også som Minkowski kraften.



Impuls og energi (Fire-impuls)

Firevektoren som beskriver energi om impuls, kan opskrives på følgende måde.



Hvis man betragter normen af impulsvektoren kan man desuden udlede en vigtig sammenhæng mellem impuls, energi og masse.



Fordi længden af en firevektor er bevaret under Lorentz transformation og fordi det altid er muligt at flytte til en inertial ramme hvor vi er i hvile (p=0), kan vi opskrive følgende sammenhæng.



Ud fra dette kan vi således opskrive følgende.



Strøm og ladningsdensitet (Fire-strøm)

Firevektoren som beskriver strømmen og ladningsdensiteten, kan opskrives på følgende måde.




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 7 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.