Note

Egenvektor


Lineær Algebra
Matricer
Matrix · Identitetsmatrix · Determinant · Spor · Invertibel matrix · Transponering · Egenværdi · Egenvektor
Vektorer
Vektor · Enhedsvektor · Ydre produkt · Indre produkt · Krydsprodukt · Prikprodukt
Calculus
Nabla operator · Gradient · Divergens · Rotation · Laplace operator · Jacobimatricen
En egenvektor er en vektor tilknyttet en given egenværdi. Til hver kvadratisk matrix er der tilknyttet en række egenvektorer og egenværdier, som er essentielle indenfor blandt andet fysik. Hvis man har bestemt matricens egenværdier, kan man bestemme de tilhørende egenvektorer ud fra nedenstående ligning, hvor A er matricen, x er egenvektoren og lambda er en given egenværdi.



Denne ligning giver også nedenstående sammenhæng mellem matricen, egenværdien og egenvektoren.



Egenværdier og egenvektorer kan også være tilknyttet vektorrum udspændt af kontinuerte (differentiable) funktioner. I dette tilfælde kaldes egenvektorerne ofte for egenfunktioner og de bestemmes ofte ved at løse en differentialligning. Rent matematisk følger de samme ligning som ovenfor, men i dette tilfælde er A en operation på funktionen f(x). Denne operation er ofte en differentiering, men det kan også være alle mulige andre operationer.



Beregningseksempeler


Herunder er der vist to forskellige beregningseksempler, et med matricer og et med kontinuerte funktioner.

Matricer

Når man bestemmer egenvektorerne for en matrice bestemmer man egentligt en base for nulrummet og denne base er den ønskede egenvektor. For eksemplets skyld har nedenstående matrix egenværdierne 2 og 6.



Egenvektorerne kan nu bestemmes ved at løse ligningen som er vist længere oppe på siden. For egenværdien 2 kan den tilhørende egenvektor beregnes på nedenstående måde.



Løsningen til denne ligning giver nedenstående egenvektor.



Funktioner

For vektorrummet udspændt af alle kontinuerte differentiable funktioner, med andenordens differentiering som operator, bestemmes egenfunktioner og egenvektorer således ud fra nedenstående funktion.



Tages sinusfunktionen som eksempel på en differentiabel funktion, fås nedenstående udtryk ud fra ovenstående ligning.



I dette tilfælde er sinus altså en egenfunktion og -1 er en egenværdi. Laves samme operation med cosinus fås noget tilsvarende.



Her er cosinus altså også en egenfunktion med egenværdien -1.


Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 6 ms og der blev foretaget 2 databaseforespørgsler.