Note

Diracs deltafunktion


Diracs deltafunktion er en matematisk funktion (eller strengt talt er det ikke en funktion, men en fordeling), som er defineret ved at være uendelig i x = 0 og nul alle andre steder. Funktionen er specielt benyttet indenfor fysik, hvor den har flere forskellige anvendelser, bl.a. inden for kvantemekanik og signalbehandling. Funktionen er rent matematisk defineret på nedenstående måde.



Hvis man integrerer over funktionen giver resultatet et. Dette er egentligt lidt specielt, når funktionen blot et en lodret streg, men fordi denne streg er uendelig, så giver resultatet et i stedet for nul. Dette betyder også at stamfunktionen er Heavisides trinfunktion.



Hvis man opskriver deltafunktionen på nedenstående måde, så får man i stedet funktionen placeret i punktet x = a frem for x = 0.



Desuden er det praktisk at huske nedenstående regnereglen, som beskriver værdien af produktet mellem Diracs deltafunktion og en vilkårlig funktion.



Hvilket yderligere medføre at nedenstående regneregel også er gyldig.



Der er yderligere to regneregler, som er praktiske at huske når man arbejder med Diracs delta funktion.





Den første regneregel er et specialtilfælde af en mere generel regneregel. Denne regneregel kan udledes ved at betrage nedenstående beregning, hvor det antages af funktionen f(x) er globalt invertibel, hvilket er tilfældet hvis funktionen kun har et nulpunkt. Har funktionen flere nulpunkter bliver vi nødt til at splitte funktionen op i en sum over alle de enkelte nulpunkter.



I ovenstående har vi benyttet følgende substitution.



De to integraler bliver nødvendigvis nødt til at være ens, hvorved vi kan udlede nedenstående regneregel, hvor det sidste led fremkommer fordi at for en given y0 har vi at u(y0) = 0 hvilket betyder vi kan lave substitutionen u(y) = y - y0.



I tilfældet hvor delta-funktionen er multidimensional svarer nævneren til determinanten af Jacobimatricen.

Repræsentationsformer

Ved hjælp af Fouriertransformation kan man omskrive Diracs deltafunktion til et integral over en kompleks eksponentialfunktion. Faktoren foran integralet opstår som en del af Fouriertransformationen, men den er ikke som sådan nødvendig.



Man kan også definere deltafunktionen på nedenstående måde. Der er generelt en del forskellige måde at realisere denne funktion på.




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 10 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.