Note

Differentialregning


Calculus
Grundlæggende
Grænseværdi
Differentiation
Differentialregning · Partielle afledede
Kædereglen · Separation af de variable · Taylorpolynomium · Differentiale
Integration
Integralregning · Integration ved substitution · Partiel integration · Indskudssætningen
Anvendelser
Omdrejningslegeme · Linearisering
Tangent · Hastighed og acceleration
Laplaces ligning · Kurvelængde
Differentialregning er modstykket til integralregning. Når man differentiere en funktion, får man et udtryk for, hvor hurtigt den oprindelige funktion ændre sig. Definitionen på en differentialbel funktion kan skrives som: En funktion f(x) er differentialbel i hele definitionsmængden, hvis grafen er sammenhængende og uden knæk. Den differentierede funktion, kaldes også den aflede funktion og kan skrives på følgende måder (første aflede funktion):



Man kan aflede en funktion lige så mange gange det skal være, men på et tidspunkt vil den aflede funktion give 0. Ved de første to afledede vil man normalt sætte mærker ved brug af f(x) notationen, men herefter vil man begynde at skrive afledningsordenen i en parentes.

Den 2. afledede skrives på en af følgende måder:



Den 3. afledede skrives på en af følgende måder:



Differentialkvotient

Når man differentierer en funktion, benytter man differentialkvotienten, som for en funktion med en variabel ser således ud:



Ud fra differentialkvotienten kan man udlede nedenstående udtryk, som tilnærmelsesvis beskriver værdien af funktionen når x forskydes med en ændring h.



Regneregler


Ved differentiering gælder nedenstående regneregler, som er med til at lette differentieringen af forskellige funktioner en hel del.

Type Formel
Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Sammensat


Eksempel på differentiering


Som eksempel vises differentieringen af den simple funktion herunder.



Hvis vi starter med at indsætte i differentialkvotienten, fås nedenstående udtryk.



Først kvadreres parentesen.



Udtrykket forkortes nu.



Herefter dividerer vi med h, så udtrykket forkortes yderligere.



Vi lader nu h gå mod 0, hvorved de sidste led forsvinder, da 4*0=0. Den differentierede funktion står nu tilbage:




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 7 ms og der blev foretaget 2 databaseforespørgsler.