Note

Differentialligning


En differentialligning er en ligning som beskriver en ukendt funktion bestående af en eller flere variable, samt sammenhænget mellem funktionen og en eller flere af funktionens afledede. Differentialligninger spiller en vigtig rolle indenfor bl.a. fysik, hvor rigtig mange ting beskrives ved hjælp af differentialligninger. Hvis man i et system ser på ændringen af en bestemt variabel, så benytter man en differentialligning til at beskrive denne ændring. Løsningen til differentialligningen beskriver herefter hvordan systemet opfører sig. Differentialligninger deles normalt op i to forskellige typer, som beskrevet herunder.

  • Ordinære differentialligninger (forkortet ODE) er ligninger, hvor funktionen udelukkende afhænger af en variabel, samt en eller flere afledede i forhold til den variabel. Ordinære differentialligninger er i mange tilfælde relativt simple af løse, lidt afhængig af typen.
  • Partielle differentialligninger (forkortet PDE) er ligninger, hvor funktionen afhænger af flere forskellige variabler, samt en eller flere afledede i forhold til de variabler. Partielle differentialligninger er i de fleste tilfælde rimelig svære at løse, igen afhængig af typen, men ofte kræver det en stor matematisk kunnen.

Differentialligninger beskrives desuden som værende lineære eller ikke-lineære, samt homogene eller inhomogene. Disse forskellige udtryk er kort beskrevet herunder, hvor det antages af y = y(t).

  • Lineær vs. ikke-lineær: Hvis en differentialligning er lineær optræder den relevante funktionen kun i første potens, altså er y lineær, men det er y2 ikke. Andre funktioner som f.eks. sin(y) er heller ikke lineære. Desuden skal koefficienterne være konstanter, hvilket igen betyder at yy' ikke er lineær, mens ay er lineær.
  • Homogen vs. inhomogen: Hvis en differentialligning indeholder led som udelukkende indeholder t (samt andre konstanter), så er funktionen inhomogen og modsat er funktionen homogen hvis den ikke indeholder nogle led, hvor t står alene eller sammen med konstanter.

Eksempler

Homogen første ordens lineær ordinær differentialligning, med konstante koefficienter.



Homogen anden ordens ikke-lineær ordinær differentialligning, med variable koefficienter.



Inhomogen anden ordens lineær ordinær differentialligning, med konstante koefficienter.



Inhomogen anden ordens ikke-lineær partiel differentialligning, med konstante koefficienter.




Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 5 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.