Note

Determinant


Lineær Algebra
Matricer
Matrix · Identitetsmatrix · Determinant · Spor · Invertibel matrix · Transponering · Egenværdi · Egenvektor
Vektorer
Vektor · Enhedsvektor · Ydre produkt · Indre produkt · Krydsprodukt · Prikprodukt
Calculus
Nabla operator · Gradient · Divergens · Rotation · Laplace operator · Jacobimatricen
Determinanten af to vektorer er lig med arealet af det parallelogram som vektorerne udspænder. Hvis vi snakker om vektorer i tre dimensioner, så angiver determinanten volumenet af det parallelepipedum som udspændes af vektorerne. Som så mange andre funktioner i lineær algebra er determinanten kun defineret for en kvadratisk n x n matrix.

Determinanten fortæller desuden hvorvidt man kan beregne en invers til matricen, hvilket kun er muligt hvis determinanten er forskellige fra nul. Determinanten fortæller også hvorvidt søjlerne i matricen er lineær uafhængige eller lineært afhængige. Søjlerne er lineært afhængige i det tilfælde hvor determinanten er nul. Det gælder også at determinanten svarer til produktet af alle egenværdierne for matricen. Derfor kan determinanten også beregnes ved at gange alle egenværdierne sammen. Ud fra dette kan det derfor også hurtigt konkluderes, at hvis matricen har en egenværdi som er nul, så er determinanten også nul.

Beregning af determinanten


I beregningen af determinanterne herunder, er det vigtigt at bemærke at i resultatet veksles der mellem plus og minus ved hvert andet led. Hvis der desuden er en hel række eller en hel søjle i matricen som er nul, er determinanten altid lig med nul.

2 x 2 Matrix

For en 2 x 2 matrix, eller to vektorer, kan determinanten beregnes på denne måde:



3 x 3 Matrix

For en 3 x 3 matrix kan man opskrive determinanten på to forskellige måder, enten på sammen måde som ovenfor, eller den kan beskrives som en række 2 x 2 determinanter.





Til beregning af determinanten herover, er der taget udgangspunkt i den første række, men i praksis er det smartest at tage udgangspunkt i den række eller søjle som har flest nuller, hvilket hurtigt gør udregningen mere simpel, da man på den måde kan skippe nogle led.

Regneregler


Som for alt andet indenfor matematikkens verden, gælder det selvfølgelig også en række regneregler for determinanter. Hvis A og B er vilkårlige n x n matricer og alfa er et vilkårligt tal, så gælder nedenstående regneregler.












Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 5 ms og der blev foretaget 2 databaseforespørgsler.