Note

Atomare vibrationer


Atomare vibrationer opstår blandt andet i krystaller, som følge af påvirkning fra en lyd- eller lysbølge. Hvis vibrationerne forårsages af en lydbølge kan bølgen igennem materialet opfattes som en partikel, kaldet fononer.

1-dimension

Vi betragter først tilfældet hvor en række atomer er placeret på et endimensionalt gitter, som vist herunder. Her beskriver a afstanden mellem atomerne.
o-------o-------o-------o-------o-------o
        <---a--->
Gittervektoren kan udtrykkes på nedenstående måde, hvor r er en retningsvektor langs aksen og n er en vilkårligt heltal.



Det reciprokke gitter er givet på følgende måde.



Udsvinget af atomerne kan beskrives som en løbende bølge på følgende måde.



Bølgen u(x,t) har kun fysisk betydning for x = na. Vi betragter nu to bølgevektorer (og derved to bølger).



Vi kan nemt vise at disse to bølgevektorer beskriver den samme bølge.



De to bølgevektorer beskriver således den samme svingning. Generelt gælder det således at k og k + G beskriver samme bølge.

[BILLEDE]

Normalt taler man om to forskellige typer bølger, nemlig longitudinale og transversale. Longitudinale bølger bevæger sig langs udbredelsesretningen, mens transversale bølger bevæger sig vinkelret på udbredelsesretningen.

[BILLEDE]

Vi betragter nu et systems egensvingninger (engelsk: normal modes). Vi ønsker at bestemme antallet af egensvingninger og deres k-værdier. Dette kan gøres ved at betragte systemets randbetingelser. Hvis systemet er stort, har randbetingelserne ikke nogen betydning og vi kan således vælge dem som er mest praktisk. Der for vælger vi at arbejde med periodiske randbetingelser, som rent matematisk er udtrykt ved nedenstående.



Ud fra ovenstående kriterium kan vi nemt bestemme et udtryk for k-værdien.





Som tidligere beskriver n et heltal indenfor mængden n = {±1, ±2, ..., ±N/2}. Dette medføre at den største værdi for k = ±π/2. Alle uafhængige tilstande befinder sig således inden for intervallet [-π/2,+π/2]. Dette betyder at alle tilstande befinder sig inden for første Brillouin zone. Dette giver således N tilstande med en afstand givet ved k = 2π/Na.

3-dimensioner

Vi kan lave en helt ækvivalent udledning for et tredimensionalt gitter. I dette tilfælde har vi periodiske randbetingelser i alle tre retninger.

[BILLEDE]

Her giver bølgefunktionen (vist herunder) ligeledes kun mening for vektoren r = R svarende til de atomare positioner i krystallen.



Bølgevektoren er i dette tilfælde beskrevet på præcis samme måde.



Hver tilstand har således følgende volumen.



Dette giver nedenstående tilstandstæthed i k-rummet. Denne tilstandstæthed er uafhængig af krystalstrukturen og atomerne.



Vælger vi igen to forskellige bølgevektorer, kan vi ligeledes vise at de beskriver samme bølge.





Eksempel med simpel basis

Vi ser nu på en endimensional krystal og betragter gitteret herunder. Vi er interesseret i at bestemme frekvensen og derved også gruppehastigheden.

       M
-------o-------o-------o-------o-------
     (n-1)a    na   (n+1)a  (n+2)a

I dette tilfælde har vi at gøre med et Lennard-Jones potential, hvorfor den interatomare kraft opfattes som en fjederkraft.



Kraften der påvirker atomer placeret på position na, kan opskrives ved følgende udtryk.



Ved at benytte Newtons 2. lov kan vi opstille en andengradsligning.



Vi gætter på at en løbende bølge kan bruges til at løse denne ligning.











Gruppehastigheden kan endeligt bestemme som den afledte af omega.



[BILLEDE]


Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 7 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.