Note

Accelererede referencerammer



Skitsen viser en inertialramme I, samt en
referenceramme S.

En inertialramme er begrænset til jævn bevægelse i en retning, nemlig langs x-aksen set i forhold til en stillestående inertialramme. Dette gør os ude af stand til at beskrive cirkelbevægelser og rotationer, så i dette tilfælde benyttes i stedet det som på engelsk hedder Accelerated reference frames. Accelererede referencerammer tillader os at beskrive alle former for bevægelser i forhold til en fast inertialramme. Et godt eksempel på dette er Jordens bevægelse omkring Solen. Jorden bevæger sig i en elliptisk bane omkring Solen, samtidig med at Jorden roterer omkring sin egen akse.

På skitsen til højre har vi en partikel med massen m, som befinder sig i en inertialramme I. Partiklen påvirkes af en kraft F og problemet er nu hvordan vi beskriver partiklens bevægelse set fra referencerammen S, altså med denne rammes koordinater. Referencerammen er selv i bevægelse og samtidig roterer den omkring en akse igennem origo. Dette betyder at der er tre forskellige ting at tage højde for, nemlig partiklens bevægelse, referencerammens bevægelse og referencerammens rotation.

Set fra inertialrammen beskriver vektoren R partiklens position og set fra referencerammen beskriver vektoren r partiklens position. Da begge disse vektorer er tidsafhængige burde de skrives som R(t) og r(t). Desuden beskriver vektoren R0(t) positionen af referencerammens origo i forhold til vores inertialramme. Set fra inertialrammen påvirkes partiklen af en kraften som beskrevet i Newtons anden lov, nemlig:



Set fra vores referenceramme påvirkes partiklen af en helt anden kraft, som afhænger af flere forskellige faktorer. Det er denne kraft som vi ønsker at kunne bestemme. Udledningen af denne kraft er relativt indviklet, men det endelige resultat er til gengæld relativt simpelt.

Udledning af kraften


For at udlede kraften på partiklen, set fra referencerammen, starter vi med at se på hastigheden og accelerationen af partiklen, set i henholdsvis inertialrammen og referencerammen. Set fra inertialrammen kan accelerationen og hastigheden beskrives ud fra vektoren R.





De to størrelser a og v betegnes normalt som den absolutte hastighed og den absolutte acceleration, fordi værdierne er absolutte i forhold til inertialrammen. Set fra referencerammen kan hastigheden og accelerationen beskrives ved hjælp af vektoren r. Her benyttes et lille r som indeks til at vise at vi snakker om accelerationen og hastigheden set fra referencerammen.





Vi kan med fordel udtrykke vektoren r, samt accelerationen og hastigheden i referencerammen ved hjælp af retningsvektorerne.







Størrelserne vr og ar kaldes normalt for henholdsvis den relative hastighed og den relative acceleration, fordi værdierne, set fra inertialrammen, er relative i forhold til referencerammen. Set fra inertialrammen har vi mulighed for at beskrive positionen af vores partikel som summen af vektorerne R0 og r. Dette giver os mulighed for at koble inertialrammen og referencerammen sammen.



Hvis vi substituerer vores omskrivning af r ind i udtrykket fås et mere brugbart resultat.



Ud fra vores nye beskrivelse af R, kan vi udtrykke accelerationen og hastigheden på en mere anvendelig måde. Vi starter først med hastigheden.



Det første led i formlen kaldes for den medfølgende hastighed (engelsk: comoving velocity). Set fra inertialrammen er dette partiklens hastighed, hvis den var fikseret i referencerammen, således at den kun flyttede sig sammen med selve referencerammen. Det andet led er partiklens hastighed set fra referencerammen. De to led benævnes henholdsvis vm og vr, hvorved vi kan forkorte udtrykket på nedenstående måde.



Hvis vi nu differentiere R igen, får vi den ønskede acceleration.



Det første led i udtrykket er modstykket til den medfølgende hastighed, nemlig den medfølgende acceleration (engelsk: comoving acceleration). Den medfølgende acceleration er accelerationen som partiklen, set fra inertialrammen, ville have hvis den var i hvile på sin nuværende position i referencerammen. Det andet led er accelerationen som partiklen vil have i referencerammen. Det tredje og sidste led kaldes Coriolis accelerationen, hvilket er det som forårsager Coriolis-effekten. De tre led betegnes med henholdsvis am, ar og aco, hvorved vi igen kan forkorte udtrykket.



Alle de nødvendige led er nu beskrevet og resten af udledningen er i grove træk en omskrivning af disse led, så det ønskede resultat opnås. Ligningen ovenfor viser sammenhænget mellem den absolutte acceleration og den relative acceleration, men for at kunne benytte denne sammenhæng bliver vi nødt til at bestemme hvordan am og aco afhænger af referencerammens relative bevægelse i forhold til inertialrammen. Vi starter med at vise, at den medfølgende hastighed kan opdeles i to hastigheder, en translatorisk (lineær) og en rotationel, hvor den translatoriske er selve referencerammens bevægelse og den rotationelle er referencerammens rotation omkring en akse igennem origo.



Vi har nu en ubekendt variabel, nemlig omega (som beskriver rotationen), så denne variabel bliver vi nødt til at bestemme. Bestemmelsen af denne størrelse og dens sammenhæng med resten af systemet, er faktisk den mest besværlige del af denne udledning. Vi ved at S er en ortonormal ramme, hvilket betyder at de tre enhedsvektorer altid vil være ortogonale, altså kan vi anvende alle de gængse regneregler for enhedsvektorer. Ud fra de to almindelige regneregler for prikproduktet mellem enhedsvektorer, fås nedenstående to udtryk ved hjælp af differentiation.





Ud fra de to ovenstående regneregler for vores enhedsvektorer, kan vi bestemme omega ved hjælp af den rette indgangsvinkel. Først skal vi dog lige vende tilbage til udtrykket for vm, hvor vi kan se at de differentierede enhedsvektorer indgår i udtrykket. De differentierede enhedsvektorer kan som alle andre vektorer udtrykkes ved hjælp af de udifferentierede enhedsvektorer.







Hvis vi starter med at benytte den første regnereglen på vores differentierede enhedsvektorer, kan vi vise at diagonalen er nul.







Benytter vi nu den anden regneregel, kan vi vise at resten af koefficienterne parvist er hinandens negerede.







Resultatet af disse udregninger kan nemmest udtrykkes som en antisymmetrisk matrix, som det er vist herunder



Hvis nu ændre notationen så vi får indført vores omega, kan vi udtrykke de tre resterende koefficienter på nedenstående måde.







Dette valg af notation er ikke umiddelbart særlig logisk, men forklaringen kommer et lille stykke længere nede i udledningen. Vi kan nu udtrykke de tre differentierede enhedsvektorer med vores nye notation.







Vi indføre nu nedenstående vektor.



Nu kommer så begrundelsen for det lidt mystiske valg af notation. Hvis vi nu krydser vores vektor herover med henholdsvis i, j og k ses det hvorfor notationen giver rigtig god mening.







Den værste del af udledningen er nu overstået og resten består faktisk bare af substitution. Hvis vi substituerer vores nye udtryk for de differentierede enhedsvektorer ind i vores udtryk for den medfølgende hastighed, ser vi at den kan beskrives ved hjælp af omega. Vektoren omega beskriver nu rotationen af S omkring en akse som går igennem origo.





En partikel som er i hvile i forhold til S vil have hastigheden vm i inertialrammen. Udtrykket viser også at partiklens hastighed i inertialrammen kan opfattes som en superposition af de den translatoriske hastighed R0 og den rotationelle hastighed beskrevet af ω × r. Den absolutte hastighed bliver endeligt som vist herunder.



Vi kan også omskrive Coriolis accelerationen med vores nye udtryk for omega. Hvis vi gør det, bliver dette udtryk ligeledes meget pænere.





Hvis vi differentierer vores enhedsvektorer endnu engang, kan vi også beskrive den medfølgende acceleration.







Substitueres disse udtryk nu ind i ligning for den medfølgende acceleration, kan vi endeligt også bestemme den ved hjælp af omega.



Det sidste led i denne ligning beskriver rotationsændringen over tid, hvilket betyder at dette led forsvinder hvis S bevæger sig omkring en fast akse i rummet med konstant impulsmoment, hvilket næsten er tilfældet for Jordens rotation omkring Solen. Desuden kaldes leddet ω × (ω × r) for centripetal-accelerationen. Vi er nu endelig i stand til at beskrive en ligning for partiklens bevægelse set fra referencerammen. Hvis vi husker på at kraften set fra inertialrammen blot er som beskrevet af Newtons 2. lov og samtidig antager at kraften der påvirker partiklen set fra referencerammen er den samme, kan vi opskrive nedenstående udtryk.





Hvis vi til slut isolerer den relative acceleration og husker husker at den er lig med den anden afledede af r, så fås det endelige resultat.



Den endelige ligning beskriver nu partiklens bevægelse set fra referencerammen. Vektoren R0 beskriver den translatoriske acceleration af referencerammen og ω beskriver rotationen af referencerammen. Sammen beskriver disse to vektorer den totale acceleration af referencerammen i forhold til inertialrammen. De sidste fire led på højresiden af ligningen kaldes for fiktive kræfter, fordi de udelukkende afhænger af referencerammens bevægelse.


Sidens indhold er licenseret under Creative Commons BY-NC 2.5 Licensen. Så længe sidens indhold ikke benyttes til kommercielle formål, må du ændre og dele sidens indhold som du har lyst. Hvis du benytter sidens indhold andre steder på nettet eller videregiver sidens indhold i trykt form, skal forfatteren krediteres enten med navn eller link til denne side.

Siden blev genereret på 8 ms og der blev foretaget 1 databaseforespørgsler.